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中等
数组
数学
动态规划

313. 超级丑数

English Version

题目描述

超级丑数 是一个正整数，并满足其所有质因数都出现在质数数组 primes 中。

给你一个整数 n 和一个整数数组 primes ，返回第 n 个 超级丑数 。

题目数据保证第 n 个 超级丑数 在 32-bit 带符号整数范围内。

 

示例 1：

输入：n = 12, primes = [2,7,13,19]
输出：32 
解释：给定长度为 4 的质数数组 primes = [2,7,13,19]，前 12 个超级丑数序列为：[1,2,4,7,8,13,14,16,19,26,28,32] 。

示例 2：

输入：n = 1, primes = [2,3,5]
输出：1
解释：1 不含质因数，因此它的所有质因数都在质数数组 primes = [2,3,5] 中。

 

提示：

  • 1 <= n <= 105
  • 1 <= primes.length <= 100
  • 2 <= primes[i] <= 1000
  • 题目数据 保证 primes[i] 是一个质数
  • primes 中的所有值都 互不相同 ，且按 递增顺序 排列

解法

方法一：优先队列（小根堆）

我们用一个优先队列（小根堆）维护所有可能的超级丑数，初始时将 $1$ 放入队列中。

每次从队列中取出最小的超级丑数 $x$，将 $x$ 乘以数组 primes 中的每个数，将乘积放入队列中，然后重复上述操作 $n$ 次即可得到第 $n$ 个超级丑数。

由于题目保证第 $n$ 个超级丑数在 $32$ 位带符号整数范围内，因此，我们将乘积放入队列之前，可以先判断乘积是否超过 $2^{31} - 1$，如果超过，则不需要将乘积放入队列中。另外，可以使用欧拉筛优化。

时间复杂度 $O(n \times m \times \log (n \times m))$，空间复杂度 $O(n \times m)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别为数组 primes 的长度和给定的整数 $n$。

Python3

class Solution:
    def nthSuperUglyNumber(self, n: int, primes: List[int]) -> int:
        q = [1]
        x = 0
        mx = (1 << 31) - 1
        for _ in range(n):
            x = heappop(q)
            for k in primes:
                if x <= mx // k:
                    heappush(q, k * x)
                if x % k == 0:
                    break
        return x

Java

class Solution {
    public int nthSuperUglyNumber(int n, int[] primes) {
        PriorityQueue<Integer> q = new PriorityQueue<>();
        q.offer(1);
        int x = 0;
        while (n-- > 0) {
            x = q.poll();
            while (!q.isEmpty() && q.peek() == x) {
                q.poll();
            }
            for (int k : primes) {
                if (k <= Integer.MAX_VALUE / x) {
                    q.offer(k * x);
                }
                if (x % k == 0) {
                    break;
                }
            }
        }
        return x;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int nthSuperUglyNumber(int n, vector<int>& primes) {
        priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q;
        q.push(1);
        int x = 0;
        while (n--) {
            x = q.top();
            q.pop();
            for (int& k : primes) {
                if (x <= INT_MAX / k) {
                    q.push(k * x);
                }
                if (x % k == 0) {
                    break;
                }
            }
        }
        return x;
    }
};

Go

func nthSuperUglyNumber(n int, primes []int) (x int) {
	q := hp{[]int{1}}
	for n > 0 {
		n--
		x = heap.Pop(&q).(int)
		for _, k := range primes {
			if x <= math.MaxInt32/k {
				heap.Push(&q, k*x)
			}
			if x%k == 0 {
				break
			}
		}
	}
	return
}

type hp struct{ sort.IntSlice }

func (h *hp) Push(v any) { h.IntSlice = append(h.IntSlice, v.(int)) }
func (h *hp) Pop() any {
	a := h.IntSlice
	v := a[len(a)-1]
	h.IntSlice = a[:len(a)-1]
	return v
}

方法二

Go

type Ugly struct{ value, prime, index int }
type Queue []Ugly

func (u Queue) Len() int           { return len(u) }
func (u Queue) Swap(i, j int)      { u[i], u[j] = u[j], u[i] }
func (u Queue) Less(i, j int) bool { return u[i].value < u[j].value }
func (u *Queue) Push(v any)        { *u = append(*u, v.(Ugly)) }
func (u *Queue) Pop() any {
	old, x := *u, (*u)[len(*u)-1]
	*u = old[:len(old)-1]
	return x
}

func nthSuperUglyNumber(n int, primes []int) int {
	ugly, pq, p := make([]int, n+1), &Queue{}, 2
	ugly[1] = 1
	heap.Init(pq)
	for _, v := range primes {
		heap.Push(pq, Ugly{value: v, prime: v, index: 2})
	}
	for p <= n {
		top := heap.Pop(pq).(Ugly)
		if ugly[p-1] != top.value {
			ugly[p], p = top.value, p+1
		}
		top.value, top.index = ugly[top.index]*top.prime, top.index+1
		heap.Push(pq, top)
	}
	return ugly[n]
}