README.md

comments	difficulty	edit_url	tags
true	中等	https://github.com/doocs/leetcode/edit/main/solution/0300-0399/0319.Bulb%20Switcher/README.md	脑筋急转弯 数学

319. 灯泡开关

English Version

题目描述

初始时有 n 个灯泡处于关闭状态。第一轮，你将会打开所有灯泡。接下来的第二轮，你将会每两个灯泡关闭第二个。

第三轮，你每三个灯泡就切换第三个灯泡的开关（即，打开变关闭，关闭变打开）。第 i 轮，你每 i 个灯泡就切换第 i 个灯泡的开关。直到第 n 轮，你只需要切换最后一个灯泡的开关。

找出并返回 n 轮后有多少个亮着的灯泡。

 

示例 1：

输入：n = 3
输出：1 
解释：
初始时, 灯泡状态 [关闭, 关闭, 关闭].
第一轮后, 灯泡状态 [开启, 开启, 开启].
第二轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 开启].
第三轮后, 灯泡状态 [开启, 关闭, 关闭]. 

你应该返回 1，因为只有一个灯泡还亮着。

示例 2：

输入：n = 0
输出：0

示例 3：

输入：n = 1
输出：1

 

提示：

• 0 <= n <= 109

解法

方法一：数学

我们不妨将 $n$ 个灯泡编号为 $1, 2, 3, \cdots, n$，那么对于第 $i$ 个灯泡，它会在第 $d$ 轮被操作，当且仅当 $d$ 是 $i$ 的因子。

对于一个数 $i$，它的因子个数是有限的，且因子个数为奇数时，最后的状态是开启的，否则是关闭的。

因此，我们只需要找到 $1$ 到 $n$ 中因子个数为奇数的数的个数即可。

对于一个数 $i$，如果它有因子 $d$，那么它一定有因子 $i/d$，因此因子个数为奇数的数一定是平方数。

举个例子，数字 $12$ 的因子有 $1, 2, 3, 4, 6, 12$，因子个数为 $6$，是偶数；而对于数字 $16$ 这个平方数，因子有 $1, 2, 4, 8, 16$，因子个数为 $5$，是奇数。

因此，我们只需要找到 $1$ 到 $n$ 中有多少个平方数即可，即 $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$。

时间复杂度 $O(1)$，空间复杂度 $O(1)$。

Python3

class Solution:
    def bulbSwitch(self, n: int) -> int:
        return int(sqrt(n))

Java

class Solution {
    public int bulbSwitch(int n) {
        return (int) Math.sqrt(n);
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int bulbSwitch(int n) {
        return (int) sqrt(n);
    }
};

Go

func bulbSwitch(n int) int {
	return int(math.Sqrt(float64(n)))
}

TypeScript

function bulbSwitch(n: number): number {
    return Math.floor(Math.sqrt(n));
}