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1758
第 132 场周赛 Q3
数组
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动态规划

1027. 最长等差数列

English Version

题目描述

给你一个整数数组 nums，返回 nums 中最长等差子序列的长度。

回想一下，nums 的子序列是一个列表 nums[i1], nums[i2], ..., nums[ik] ，且 0 <= i1 < i2 < ... < ik <= nums.length - 1。并且如果 seq[i+1] - seq[i]( 0 <= i < seq.length - 1) 的值都相同，那么序列 seq 是等差的。

 

示例 1：

输入：nums = [3,6,9,12]
输出：4
解释： 
整个数组是公差为 3 的等差数列。

示例 2：

输入：nums = [9,4,7,2,10]
输出：3
解释：
最长的等差子序列是 [4,7,10]。

示例 3：

输入：nums = [20,1,15,3,10,5,8]
输出：4
解释：
最长的等差子序列是 [20,15,10,5]。

 

提示：

  • 2 <= nums.length <= 1000
  • 0 <= nums[i] <= 500

解法

方法一：动态规划

我们定义 $f[i][j]$ 表示以 $nums[i]$ 结尾且公差为 $j$ 的等差数列的最大长度。初始时 $f[i][j]=1$，即每个元素自身都是一个长度为 $1$ 的等差数列。

由于公差可能为负数，且最大差值为 $500$，因此，我们可以将统一将公差加上 $500$，这样公差的范围就变成了 $[0, 1000]$。

考虑 $f[i]$，我们可以枚举 $nums[i]$ 的前一个元素 $nums[k]$，那么公差 $j=nums[i]-nums[k]+500$，此时有 $f[i][j]=\max(f[i][j], f[k][j]+1)$，然后我们更新答案 $ans=\max(ans, f[i][j])$。

最后返回答案即可。

如果初始时 $f[i][j]=0$，那么我们需要在最后返回答案时加上 $1$。

时间复杂度 $O(n \times (d + n))$，空间复杂度 $O(n \times d)$。其中 $n$ 和 $d$ 分别是数组 $nums$ 的长度以及数组 $nums$ 中元素的最大值与最小值的差值。

Python3

class Solution:
    def longestArithSeqLength(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        f = [[1] * 1001 for _ in range(n)]
        ans = 0
        for i in range(1, n):
            for k in range(i):
                j = nums[i] - nums[k] + 500
                f[i][j] = max(f[i][j], f[k][j] + 1)
                ans = max(ans, f[i][j])
        return ans

Java

class Solution {
    public int longestArithSeqLength(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int ans = 0;
        int[][] f = new int[n][1001];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            for (int k = 0; k < i; ++k) {
                int j = nums[i] - nums[k] + 500;
                f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[k][j] + 1);
                ans = Math.max(ans, f[i][j]);
            }
        }
        return ans + 1;
    }
}

C++

class Solution {
public:
    int longestArithSeqLength(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int f[n][1001];
        memset(f, 0, sizeof(f));
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            for (int k = 0; k < i; ++k) {
                int j = nums[i] - nums[k] + 500;
                f[i][j] = max(f[i][j], f[k][j] + 1);
                ans = max(ans, f[i][j]);
            }
        }
        return ans + 1;
    }
};

Go

func longestArithSeqLength(nums []int) int {
	n := len(nums)
	f := make([][]int, n)
	for i := range f {
		f[i] = make([]int, 1001)
	}
	ans := 0
	for i := 1; i < n; i++ {
		for k := 0; k < i; k++ {
			j := nums[i] - nums[k] + 500
			f[i][j] = max(f[i][j], f[k][j]+1)
			ans = max(ans, f[i][j])
		}
	}
	return ans + 1
}

TypeScript

function longestArithSeqLength(nums: number[]): number {
    const n = nums.length;
    let ans = 0;
    const f: number[][] = Array.from({ length: n }, () => new Array(1001).fill(0));
    for (let i = 1; i < n; ++i) {
        for (let k = 0; k < i; ++k) {
            const j = nums[i] - nums[k] + 500;
            f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[k][j] + 1);
            ans = Math.max(ans, f[i][j]);
        }
    }
    return ans + 1;
}