pi_over_sin_pi_lambda.saty

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document (|
  title = {
    ${
      \int _0^\infty \frac{x^{\lambda - 1}}{1+x} dx = 
      \frac{\pi}{\sin\pi\lambda} 
    } ${\paren{0<\lambda <1}}
  };
  author = {hsjoihs};
  show-title = true;
  show-toc = false;
|) '<
  +section{複素解析でチャチャッと答えを求める}<
    +p{
      「実軸の真上→無限の半径でグルっと周回→実軸の真下」というコースで積分。
      \eqn(${
        \int _0^\infty \frac{x^{\lambda - 1}}{1+x} dx + 
        \int _\infty^0 \frac{ x^{\lambda - 1} e^{2\pi i\paren{\lambda - 1}} }{1+x} dx
        = 2\pi i \app{\Res}{-1, \frac{e^{\paren{\lambda - 1}\log z}}{1+z}}
      });%
      \eqn(${
        \paren{
          1 - e^{2\pi i\paren{\lambda - 1}}
        }\int _0^\infty \frac{x^{\lambda - 1}}{1+x} dx 
        = 2\pi i \limto{z}{-1}  e^{\paren{\lambda - 1}\log z}
      });%
      \eqn(${
        \int _0^\infty \frac{x^{\lambda - 1}}{1+x} dx 
        = 
        \frac{
          2\pi i e^{\paren{\lambda - 1}\pi i } 
        }{
          1 - e^{2\pi i\paren{\lambda - 1}}
        }  
        = 
        \frac{
          2\pi i 
        }{
          e^{-\paren{\lambda - 1}\pi i }  - e^{\pi i\paren{\lambda - 1}}
        }
        = 
        \frac{
          2\pi i 
        }{
          - e^{-\lambda \pi i }  + e^{\pi i\lambda}
        } 
        = 
        \frac{
          \pi  
        }{
          \sin \pi\lambda
        } 
      });%
      
    }
  >
  +section{分割する}<
    +p{
      \align[
        ${
          |\int _0^\infty \frac{x^{\lambda - 1}}{1+x} dx |= 
          \int _0^1 \frac{x^{\lambda - 1}}{1+x} dx + 
          \int _1^\infty \frac{x^{\lambda - 1}}{1+x} dx  
          |= |
          \int _0^1 \frac{x^{\lambda - 1}}{1+x} dx + 
          \int _1^0 \frac{u^{-\lambda + 1}}{1+u^{-1}} \paren{-u^{-2}}du
        |};
        ${| |= 
          \int _0^1 \frac{x^{\lambda - 1}}{1+x} dx + 
          \int _0^1 \frac{u^{-\lambda - 1}}{1+u^{-1}} du
          |=|
          \int _0^1 \frac{x^{\lambda - 1}}{1+x} dx + 
          \int _0^1 \frac{u^{-\lambda}}{u+1} du

        |}
      ];
      ここで ${\app{F}{\lambda} = \int _0^1 \frac{x^{\lambda - 1}}{1+x} dx } とすると
      ${\int _0^\infty \frac{x^{\lambda - 1}}{1+x} dx = \app{F}{\lambda} + \app{F}{1 - \lambda} }
    }
  >
  +section{ 
    ${\app{F}{\lambda} = \int _0^1 \frac{x^{\lambda - 1}}{1+x} dx  }
    について調べる
  }<
    +p{
      プロットしてみると${\lambda > 0}で収束するっぽさがある。
      ${
        \frac{
          \pi  
        }{
          \sin \pi\lambda
        }
      } の特異点を二つに分離できているっぽさある。具体的に調べてみよう。
    }
    +subsection{${\lambda}が整数のとき} <
      +p{
        \align[${|
          \int _0^1 \frac{x^{\lambda - 1}}{1+x} dx |= 
          \int _0^1 \frac{x^{\lambda - 1} + \paren{-1}^{\lambda}}{1+x} dx 
          - \paren{-1}^{\lambda} \int _0^1 \frac{1}{1+x} dx
        |};${| |= 
          \int _0^1 \paren{x^{\lambda - 2} - x^{\lambda - 3} + ... +  \paren{-1}^{\lambda} } dx 
          - \paren{-1}^{\lambda} \int _0^1 \frac{1}{1+x} dx
        |};${| |= 
          \paren{
            \frac{1}{\lambda - 1} - \frac{1}{\lambda - 2} + ... +  \paren{-1}^{\lambda} 
          }
          - \paren{-1}^{\lambda} \ln 2
        |};${| |= 
           \paren{-1}^{\lambda} \paren{
             1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - ... + \paren{-1}^{\lambda}\frac{1}{\lambda - 1}
          }
          - \paren{-1}^{\lambda} \sums{k=1}{\infty} \frac{\paren{-1}^{k-1}}{k}
        |};${| |= 
          \paren{-1}^{\lambda} \sums{k=1}{\lambda - 1} \frac{\paren{-1}^{k-1}}{k}
          - \paren{-1}^{\lambda} \sums{k=1}{\infty} \frac{\paren{-1}^{k-1}}{k}
        |};${| |= 
          - \paren{-1}^{\lambda} \sums{k=\lambda}{\infty} \frac{\paren{-1}^{k-1}}{k}
        |};${| |= 
          - \paren{-1}^{\lambda} \sums{l=0}{\infty} \frac{\paren{-1}^{l+\lambda - 1}}{l+\lambda}
          = 
           \sums{l=0}{\infty} \frac{\paren{-1}^{l}}{l+\lambda}
        |};
        ];%
      }
    >
    +subsection{${\lambda}が半整数のとき${\paren{\lambda = n + \frac{1}{2}}}} <
      +p{
        \align[${|
          \int _0^1 \frac{x^{n - \frac{1}{2}}}{1+x} dx |= 
          \int _0^1 \frac{u^{2n - 1}}{1+u^2} 2udu = 
          2\int _0^1 \frac{u^{2n}}{1+u^2} du  
        |};${| |=
          2\sqbracket{
            \int_0^1 \paren{u^{2n-2} - u^{2n-4}+ ... + \paren{-1}^{n-1}} du 
            + \paren{-1}^{n} \int_0^1 \frac{1}{1+u^2} du
          }
        |};${| |=
          2\paren{
            \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n-3} + \frac{1}{2n-5} - ...  \paren{-1}^{n-1}\frac{1}{1}
          } 
          + 2\paren{-1}^{n} \frac{\pi}{4}
        |};${| |=
          2\paren{-1}^{n-1}\paren{
            \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - ... + \paren{-1}^{n-1} \frac{1}{2n-1}
          } 
          + 2\paren{-1}^{n} \frac{\pi}{4}
        |};${| |=
          2\paren{-1}^{n-1} \sums{k=1}{n}\frac{\paren{-1}^{k-1}}{2k-1} 
          + 2\paren{-1}^{n} \sums{k=1}{\infty}\frac{\paren{-1}^{k-1}}{2k-1} 
          = 2\paren{-1}^{n} \sums{k=n+1}{\infty}\frac{\paren{-1}^{k-1}}{2k-1} 
        |};${| |
          = 2\paren{-1}^{n} \sums{l=0}{\infty}\frac{\paren{-1}^{l+n+1-1}}{2\paren{l+n+1}-1} 
          = \sums{l=0}{\infty}\frac{\paren{-1}^{l}}{l+\lambda} 
        |}
        ];
      }
    >
    +subsection{ということは}<
      +p{
        一般に ${\app{F}{\lambda} = \sums{l=0}{\infty}\frac{\paren{-1}^{l}}{l+\lambda} }
        が成り立つのではなかろうか。そんな気がする。ついでにこの形だと解析接続できそう。つよい。
      }
      +pn{
        冷静に考えてみたらかなり自然だった。端点以外では等比級数の和の公式が使えるので、
        \align[${|
          \int _0^1 \frac{x^{\lambda - 1}}{1+x} dx |= 
          \int _0^1 \sums{l=0}{\infty} \paren{-x}^{l} x^{\lambda - 1} dx  
        |};${| |=
          \int _0^1 \sums{l=0}{\infty} \paren{-1}^{l} x^{l + \lambda - 1} dx  
        |};${| |=
          \sums{l=0}{\infty} \int _0^1  \paren{-1}^{l} x^{l + \lambda - 1} dx  
        |};${| |=
          \sums{l=0}{\infty}  \frac{\paren{-1}^{l}}{l + \lambda}
        |};
        ];
        が期待される。もちろん総和と積分の入れ替えに条件が必要だし、
        ${\lambda}が${0}以下だと${x = 0}の端点が消えてくれないからこそこれは
        ${\app{F}{\lambda} }の一般化になるのだなぁ。
      }
    >
    +subsection{ディガンマ関数}<
      +p{
        ディガンマ関数 ${\app{\psi}{z} = \frac{\frac{d}{dx}\app{\Gamma}{x}}{\app{\Gamma}{x}} } は
        ${
          \app{\psi}{z} = \limto{n}{\infty}\sqbracket{
            \ln n - \frac{1}{z} - \sums{k=1}{n}\frac{1}{z+k}
          }
        }と書けることが知られているらしいので
        \align[${|
          \app{\psi}{z + \frac{1}{2}} - \app{\psi}{z} |= \limto{n}{\infty}\sqbracket{
            \ln n - \frac{1}{z + \frac{1}{2}} - \sums{k=1}{n}\frac{1}{z+ \frac{1}{2}+k}
          } - \limto{n}{\infty}\sqbracket{
            \ln n - \frac{1}{z} - \sums{k=1}{n}\frac{1}{z+k}
          }
        |};${| |= \limto{n}{\infty}\sqbracket{
           
            - \sums{k=0}{n}\frac{1}{z+ \frac{1}{2}+k}
          
            + \sums{k=0}{n}\frac{1}{z+k}
          }
        |};${| |= \limto{n}{\infty}\sqbracket{
           
            \sums{l=1, l \in 2 \math-style!(MathDoubleStruck){Z} + 1}{2n+1}\frac{\paren{-1}^{l}}{z+ \frac{l}{2}}
          
            + \sums{l=0, l \in 2 \math-style!(MathDoubleStruck){Z}}{2n}\frac{\paren{-1}^{l}}{z+\frac{l}{2}}
          }
        |};${| |= \limto{n}{\infty}\sqbracket{
          \sums{l=0}{2n+1}\frac{\paren{-1}^{l}}{z+\frac{l}{2}}
          } 
          = 2 \sums{l=0}{\infty}\frac{\paren{-1}^{l}}{l+2z}
          = 2 \app{F}{2z}
          
        |};
        ];
        つまり
        ${
          \app{F}{\lambda} = 
          \frac{1}{2}\paren{
            \app{\psi}{\frac{\lambda+1}{2}} - \app{\psi}{\frac{\lambda}{2}}
          }
        }
        であることが期待される。
      }
      +pn{
        この期待の下だと ${
          \app{F}{\lambda} + \app{F}{1-\lambda} = 
          \frac{1}{2}\paren{
            \app{\psi}{\frac{\lambda+1}{2}} - \app{\psi}{\frac{\lambda}{2}} +
            \app{\psi}{\frac{2-\lambda}{2}} - \app{\psi}{\frac{1-\lambda}{2}}
          }
        }
      }
      +pn{
        ここで${\app{\psi}{1-z} - \app{\psi}{z} = \pi \cot \pi z} 
        % と  ${\app{\psi}{z} = \app{\psi}{z+1} - \frac{1}{z} }
        が知られているので
        \align[${|
          \app{F}{\lambda} + \app{F}{1-\lambda} |= 
          \frac{1}{2}\paren{
            \app{\psi}{\frac{\lambda+1}{2}} 
            - \app{\psi}{\frac{1-\lambda}{2}} - \app{\psi}{\frac{\lambda}{2}} +
            \app{\psi}{\frac{2-\lambda}{2}} 
          }
        |};${| |= 
          \frac{1}{2}\paren{
            \pi \cot  \frac{\pi\paren{1-\lambda}}{2} - \app{\psi}{\frac{\lambda}{2}} +
            \app{\psi}{\frac{2-\lambda}{2}}
          }
        |};${| |= 
          \frac{1}{2}\paren{
            \frac{
              \pi \cos  \paren{
                \frac{\pi}{2} -
                \frac{\pi\lambda}{2}
              }
            }{
              \sin  \paren{
                \frac{\pi}{2} -
                \frac{\pi\lambda}{2}
              }
            }
            
            
            + 
            \frac{
              \pi \cos \frac{\pi\lambda}{2}
            }{
              \sin \frac{\pi\lambda}{2}
            }
          }
        |};${| |= 
          \frac{1}{2}\paren{
            \frac{
              \pi \sin \frac{\pi\lambda}{2}
            }{
              \cos \frac{\pi\lambda}{2}
            }
            + 
            \frac{
              \pi \cos \frac{\pi\lambda}{2}
            }{
              \sin \frac{\pi\lambda}{2}
            }
          }
        |};${| |= 
          \frac{1}{2}\paren{
            \frac{
              \pi \sin^2 \frac{\pi\lambda}{2}
            }{
              \sin \frac{\pi\lambda}{2}\cos \frac{\pi\lambda}{2}
            }
            + 
            \frac{
              \pi \cos^2 \frac{\pi\lambda}{2}
            }{
              \cos \frac{\pi\lambda}{2}\sin \frac{\pi\lambda}{2}
            }
            
          }
        |};${| |= 
        
          \frac{
            \pi
          }{
            2\sin \frac{\pi\lambda}{2}\cos \frac{\pi\lambda}{2}
          }= 
        
          \frac{
            \pi
          }{
            \sin \pi\lambda
          }
            
        |}
        ];

        なるほどなぁ。
      }
    >
  >
>