Update 2023-12-08-lgv.md

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@@ -18,7 +18,7 @@ mermaid: true
 	- 또한, $i \neq j$에 대해 $P_i$와 $P_j$는 공유하는 정점이 없습니다.
 - 이때, LGV lemma의 claim은 다음과 같습니다.
 	- $A$에서 $B$로 가는 서로 교차하지 않는 모든 경로쌍 $P$에 대해, (아래의 공식에서 $\sum_P$는 이러한 모든 $P$를 나타냅니다,)
-	- $det(M) = \sum_P (sign(\sigma(P))\Pi_{i=1}^{n}w(P_i))$.
+	- $$det(M) = \sum_P (sign(\sigma(P))\Pi_{i=1}^{n}w(P_i))$$.
 		- 단, 어떤 수열 $P$에 대해 $sign(P)$, 혹은 $signum(P)$는, $P$의 inversion의 수가 홀수면 $-1$, 짝수면 $+1$입니다. 순열의 inversion이란, $i<j$이고 $P_i>P_j$인 $(i,j)$의 개수입니다.
 		- 즉, $P$의 inversion의 수가 $N(P)$이면 $sign(P)=(-1)^{N(P)}$입니다.
 
@@ -29,27 +29,27 @@ mermaid: true
 	- 섞인 경로는 $\sigma$가 정해지지 않은 경로쌍, 경로는 $\sigma$가 정해진 경로쌍이라고 생각하시면 됩니다.
 - 행렬식의 정의에 의해, $detM = \sum_\sigma sign(\sigma) \Pi_{i=1}^n e(a_i,b_{\sigma(i)})$ 입니다. 이를 정리하면, 
 $detM$
-$= \sum_\sigma sign(\sigma) \Pi_{i=1}^n e(a_i,b_{\sigma(i)})$\
-$= \sum_\sigma sign(\sigma) \Pi_{i=1}^n \sum_{Pi: a_i \rightarrow b_\sigma(i)} w(P_i)$\
-$= \sum_\sigma sign(\sigma) \sum(: \sigma$에 대해 $A$에서 $B$로 가는 $N$-경로의 모든 경로 $P)w(P)$\
-$= \sum(:A$에서 $B$로 가는 섞인 $N$-경로의 모든 경로 $P)sign(\sigma(P))w(P)$\
-$= \sum(: A$에서 $B$로 가는 섞인 비교차 $N$-경로의 모든 경로 $P$)$sign(\sigma(P))w(P)$\
-$+\sum(: A$에서 $B$로 가는 섞인 교차 $N$-경로의 모든 경로 $P)sign(\sigma(P))w(P)$\
+$= \sum_\sigma sign(\sigma) \Pi_{i=1}^n e(a_i,b_{\sigma(i)})$
+$= \sum_\sigma sign(\sigma) \Pi_{i=1}^n \sum_{Pi: a_i \rightarrow b_\sigma(i)} w(P_i)$
+$= \sum_\sigma sign(\sigma) \sum(: \sigma$에 대해 $A$에서 $B$로 가는 $N$-경로의 모든 경로 $P)w(P)$
+$= \sum(:A$에서 $B$로 가는 섞인 $N$-경로의 모든 경로 $P)sign(\sigma(P))w(P)$
+$= \sum(: A$에서 $B$로 가는 섞인 비교차 $N$-경로의 모든 경로 $P$)$sign(\sigma(P))w(P)$
+$+\sum(: A$에서 $B$로 가는 섞인 교차 $N$-경로의 모든 경로 $P)sign(\sigma(P))w(P)$
 - 여기서, $\sum(: A$에서 $B$로 가는 섞인 비교차 $N$-경로의 모든 경로 $P)sign(\sigma(P))w(P)$는 LGV lemma 공식의 우변 $\sum_P (sign(\sigma(P))\Pi_{i=1}^{N}w(P_i))$과 같습니다. 따라서, LGV lemma를 증명하기 위해서는 $\sum(: A$에서 $B$로 가는 섞인 교차 $N$-경로의 모든 경로 $P) sign(\sigma(P))w(P) = 0$임을 증명하면 됩니다.
 	- 조금 풀어서 쓰자면, $detM$을 식정리하여 교차 경로에 대한 항과 비교차 경로에 대한 항으로 나누었습니다. 각 항은 LGV 공식의 우항과 비슷한 구조를 가지며, 특히 비교차 경로에 대한 항은 LGV 공식의 우항입니다. 즉 교차 경로에 대한 LGV 공식의 우항이 0임을 증명하면 됩니다.
 - $A$에서 $B$로 가는 섞인 교차 $N$-경로의 모든 경로의 집합 $\epsilon$에 대해, $\sum(:A$에서 $B$로 가는 섞인 교차 $N$-경로의 모든 경로 $P) sign(\sigma(P))w(P) = \sum_{P \in \epsilon} sign(\sigma(P))w(P)$입니다. 이때, 어떤 대합(involution) $f:\epsilon \to \epsilon$이 존재하여 $w(f(P))=w(P)$이고 $sign(\sigma(f(P)))=-sign(\sigma(P))$이면 $\sum_{P \in \epsilon} sign(\sigma(P))w(P) = 0$이 됩니다.
 	- 대합이란, 쉽게 설명하면 정의역에서 정의역으로 가는 일대일대응입니다.
 	- 마찬가지로 조금 풀어서 쓰면, 모든 교차 $N$-경로들을 어떠한 방식으로 두 개가 한 쌍이 되도록 묶었을 때, 각 쌍의 $sign(\sigma(P))w(P)$의 합이 $0$임을 보일 것입니다. 그렇게 하면 모든 교차 경로에 대한 LGV 공식의 우항(즉 합)이 $0$임을 알 수 있습니다.
 - 이 사실을 증명해봅시다. 섞인 교차 $N$-경로 $P=(P_1,P_2,...,P_N)$에 대해, $G$의 어떤 정점 $V$가 $P$의 경로 중 두 개 이상에 포함되면 이러한 정점 $V$를 '넘친다'고 합시다. $P$가 교차 경로이므로 넘치는 정점이 무조건 하나 이상 있음이 자명합니다. $P_i$가 넘치는 정점을 포함하는 최소의 자연수 를 $i$라고 하고, 그러한 $P_i$의 경로상 가장 첫번째로 나오는 넘치는 정점을 $V$라고 합시다. $V$가 넘치므로 $P_j$가 $V$를 포함하는 $j(\neq i)$가 존재합니다. $j$를 그중 가장 큰 값으로 둡시다. 이제, 두 경로 $P_i$와 $P_j$를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
-$P_i: a_i=u_0 \rightarrow u_1 \rightarrow u_2 ... u_{\alpha-1} \rightarrow u_\alpha \rightarrow u_{\alpha+1} ... \rightarrow u_r = b_{\sigma(i)}$
-$P_j: a_j=v_0 \rightarrow v_1 \rightarrow v_2 ... v_{\beta-1} \rightarrow v_\beta \rightarrow v_{\alpha+1} ... \rightarrow v_s = b_{\sigma(j)}$
-- 이때, $r$과 $s$는 각각 $P_i$와 $P_j$의 길이이며, $\sigma=\sigma(P)$이며, $V=u_\alpha=v_\beta$입니다. 이러한 $P_i$와 $P_j$로부터 다음과 같이, $P_i$와 $P_j$의 $V$ 이후의 경로를 교환하고 나머지 경로는 동일하게 유지하는 일대일대응 $f:\epsilon \to \epsilon$과 이를 통해 교환되는 경로 ${P_{i}' = f(P)_{i}}$ 와 ${P_{j}' = f(P)_{j}}$를 정의할 수 있습니다.
-$P_{i}' : a_{i}=u_{0} \rightarrow u_1 \rightarrow u_2 ... u_{\alpha-1} \rightarrow v_\beta \rightarrow v_{\alpha+1} ... \rightarrow v_{s} = b_{\sigma(j)}$
-$P_{j}' : a_{j}=v_{0} \rightarrow v_1 \rightarrow v_2 ... v_{\beta-1} \rightarrow u_\alpha \rightarrow u_{\alpha+1} ... \rightarrow u_{r} = b_{\sigma(i)}$
+$$P_i: a_i=u_0 \rightarrow u_1 \rightarrow u_2 ... u_{\alpha-1} \rightarrow u_\alpha \rightarrow u_{\alpha+1} ... \rightarrow u_r = b_{\sigma(i)}$$
+$$P_j: a_j=v_0 \rightarrow v_1 \rightarrow v_2 ... v_{\beta-1} \rightarrow v_\beta \rightarrow v_{\alpha+1} ... \rightarrow v_s = b_{\sigma(j)}$$
+- 이때, $r$과 $s$는 각각 $P_i$와 $P_j$의 길이이며, $\sigma=\sigma(P)$이며, $V=u_\alpha=v_\beta$입니다. 이러한 $P_i$와 $P_j$로부터 다음과 같이, $P_i$와 $P_j$의 $V$ 이후의 경로를 교환하고 나머지 경로는 동일하게 유지하는 일대일대응 $f:\epsilon \to \epsilon$과 이를 통해 교환되는 경로 ${P_{i}' = f(P)_{i}, P_{j}' = f(P)_{j}}$를 정의할 수 있습니다.
+$${P_{i}' : a_{i}=u_{0} \rightarrow u_1 \rightarrow u_2 ... u_{\alpha-1} \rightarrow v_\beta \rightarrow v_{\alpha+1} ... \rightarrow v_{s} = b_{\sigma(j)}}$$
+$${P_{j}' : a_{j}=v_{0} \rightarrow v_1 \rightarrow v_2 ... v_{\beta-1} \rightarrow u_\alpha \rightarrow u_{\alpha+1} ... \rightarrow u_{r} = b_{\sigma(i)}}$$
 - 여기서, $f(P)$ 역시 섞인 교차 $N$-경로임이 자명합니다. 이러한 작업을 한 번 더 가한 $N$-경로 $f(f(P))$에 대해, $f(f(P))=P$임 역시 자명합니다. 따라서 이러한 함수 $f$는 대합이 됩니다. 즉 $f$가 $w(f(P))=w(P)$이고 $sign(\sigma(f(P)))=-sign(\sigma(P))$를 만족함을 증명하기만 하면 증명이 완성됩니다. 이는 상당히 직관적으로 알 수 있습니다.
 	- 풀어서 쓰면, 위에서 모든 교차 $N$-경로들을 어떠한 방식으로 두 개가 한 쌍이 되도록 묶겠다고 했습니다. $P$와 $f(P)$가 한 쌍인 것이고, 위 증명은 $f$를 통해 모든 교차 $N$-경로가 두 개씩 한 쌍으로 묶인다는 것을 보인 것입니다. 이제 이 쌍의 $sign(\sigma(P))w(P)$의 합이 0임을 증명해봅시다.
-- 우선, $\sigma(f(P))$는 $\sigma=\sigma(P)$에서 $\sigma(i)$와 $\sigma(j)$의 위치만을 바꾸어준 순열입니다. 따라서 $sign(\sigma(f(P))) = -\sigma(P)$입니다. 또한, 두 경로 $w(P_i')$와 $w(P_j')$는 동일한 간선 집합을 가지고 있으므로, $w(P_i')w(P_j')=w(P_i)w(P_j)$입니다. 즉, ${w(f(P))=\Pi_{k=1}^nw(f(P)_{k})=\Pi_{k=1,k\neq i,j}^nw(P_{k})\times w(P_{i}')w(P_{j}')}$\
-  ${=\Pi_{k=1,k\neq i,j}^nw(P_{k})w(P_{i})w(P_{j})=\Pi_{k=1}^nw(P_{k})=w(P)}$
+- 우선, $\sigma(f(P))$는 $\sigma=\sigma(P)$에서 $\sigma(i)$와 $\sigma(j)$의 위치만을 바꾸어준 순열입니다. 따라서 $sign(\sigma(f(P))) = -\sigma(P)$입니다. 또한, 두 경로 $w(P_i')$와 $w(P_j')$는 동일한 간선 집합을 가지고 있으므로, $w(P_i')w(P_j')=w(P_i)w(P_j)$입니다. 즉, $${w(f(P))=\Pi_{k=1}^nw(f(P)_{k})=\Pi_{k=1,k\neq i,j}^nw(P_{k})\times w(P_{i}')w(P_{j}')}$$
+  $${=\Pi_{k=1,k\neq i,j}^nw(P_{k})w(P_{i})w(P_{j})=\Pi_{k=1}^nw(P_{k})=w(P)}$$
 - 따라서, 대합 $f$가 $w(f(P))=w(P)$이고 $sign(\sigma(f(P)))=-sign(\sigma(P))$를 만족하므로 $\sum_{P \in \epsilon} sign(\sigma(P))w(P) = 0$이며 $det(M) = \sum_P (sign(\sigma(P))\Pi_{i=1}^{N}w(P_i))$입니다. 따라서 LGV lemma가 증명됩니다.
 
 ### 증명 요약
@@ -64,8 +64,7 @@ $P_{j}' : a_{j}=v_{0} \rightarrow v_1 \rightarrow v_2 ... v_{\beta-1} \rightarro
 	- 주어진 격자판을 모든 간선이 오른쪽 혹은 아래를 향하는 유향 간선인 그래프라고 생각합시다. 이때 모든 간선의 가중치를 1으로 둡시다.
 	- $a_1=(1,2), a_2=(2,1), b_1=(N-1,M), b_2=(N,M-1), A=\{a_1,a_2\}, B=\{b_1,b_2\}$라 합시다.
 	- $A$에서 $B$로 가는 경로쌍의 $\sigma$로 가능한 유일한 순열은 $[1,2]$임을 알 수 있습니다.
-	- ${e(a_{1},b_{1})=(^{N+M-4}_{M-2}), e(a_{1},b_{2}) = (^{N+M-4}_{N-1})}$,
-	- ${e(a_2,b_1) = (^{N+M-4}_{M-1}), e(a_2,b_2) = (^{N+M-4}_{M-2})}$ 입니다.
+	- $${e(a_{1},b_{1})=(^{N+M-4}_{M-2}), e(a_{1},b_{2}) = (^{N+M-4}_{N-1})}, {e(a_2,b_1) = (^{N+M-4}_{M-1}), e(a_2,b_2) = (^{N+M-4}_{M-2})}$$ 입니다.
 	- 즉 ${det(M)=(^{N+M-4}_{M-2})^2-(^{N+M-4}_{N-1})(^{N+M-4}_{M-1})}$ 입니다.
 	- $\sigma$가 유일하므로, $\sum_P (sign(\sigma(P))\Pi_{i=1}^{N}w(P_i)) = sign([1,2])\sum_P\Pi_{i=1}^{N}w(P_i)) = \sum_P1$은 이를 만족하는 겹치지 않는 경로쌍 $P$의 개수가 됩니다.
 - 즉, 문제의 답은 ${2((^{N+M-4}_{M-2})^2-(^{N+M-4}_{N-1})(^{N+M-4}_{M-1}))}$으로 매우 직관적인 식이 된다는 것을 알 수 있습니다! (순서가 없는 경로쌍이므로, 순서를 지정하는 데 $2$가 곱해집니다.)