Update 2023-12-08-lgv.md

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 	- 섞인 경로는 $\sigma$가 정해지지 않은 경로쌍, 경로는 $\sigma$가 정해진 경로쌍이라고 생각하시면 됩니다.
 - 행렬식의 정의에 의해, $detM = \sum_\sigma sign(\sigma) \Pi_{i=1}^n e(a_i,b_{\sigma(i)})$ 입니다. 이를 정리하면, 
 $detM$
+
 $= \sum_\sigma sign(\sigma) \Pi_{i=1}^n e(a_i,b_{\sigma(i)})$
+
 $= \sum_\sigma sign(\sigma) \Pi_{i=1}^n \sum_{Pi: a_i \rightarrow b_\sigma(i)} w(P_i)$
+
 $= \sum_\sigma sign(\sigma) \sum(: \sigma$에 대해 $A$에서 $B$로 가는 $N$-경로의 모든 경로 $P)w(P)$
+
 $= \sum(:A$에서 $B$로 가는 섞인 $N$-경로의 모든 경로 $P)sign(\sigma(P))w(P)$
+
 $= \sum(: A$에서 $B$로 가는 섞인 비교차 $N$-경로의 모든 경로 $P$)$sign(\sigma(P))w(P)$
+
 $+\sum(: A$에서 $B$로 가는 섞인 교차 $N$-경로의 모든 경로 $P)sign(\sigma(P))w(P)$
+
 - 여기서, $\sum(: A$에서 $B$로 가는 섞인 비교차 $N$-경로의 모든 경로 $P)sign(\sigma(P))w(P)$는 LGV lemma 공식의 우변 $\sum_P (sign(\sigma(P))\Pi_{i=1}^{N}w(P_i))$과 같습니다. 따라서, LGV lemma를 증명하기 위해서는 $\sum(: A$에서 $B$로 가는 섞인 교차 $N$-경로의 모든 경로 $P) sign(\sigma(P))w(P) = 0$임을 증명하면 됩니다.
 	- 조금 풀어서 쓰자면, $detM$을 식정리하여 교차 경로에 대한 항과 비교차 경로에 대한 항으로 나누었습니다. 각 항은 LGV 공식의 우항과 비슷한 구조를 가지며, 특히 비교차 경로에 대한 항은 LGV 공식의 우항입니다. 즉 교차 경로에 대한 LGV 공식의 우항이 0임을 증명하면 됩니다.
 - $A$에서 $B$로 가는 섞인 교차 $N$-경로의 모든 경로의 집합 $\epsilon$에 대해, $\sum(:A$에서 $B$로 가는 섞인 교차 $N$-경로의 모든 경로 $P) sign(\sigma(P))w(P) = \sum_{P \in \epsilon} sign(\sigma(P))w(P)$입니다. 이때, 어떤 대합(involution) $f:\epsilon \to \epsilon$이 존재하여 $w(f(P))=w(P)$이고 $sign(\sigma(f(P)))=-sign(\sigma(P))$이면 $\sum_{P \in \epsilon} sign(\sigma(P))w(P) = 0$이 됩니다.